アフィン変換とは?
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投稿日:2014-05-14
更新日:2016-09-12
「線型変換(回転、拡大縮小、剪断)」と「平行移動」を組み合わせた変換
・線形変換に平行移動を加えたものをアフィン変換と呼ぶ
※ 線形変換は平行移動を表すことができないため
具体的には?
・画像の拡大縮小、回転、平行移動などをまとめて、3×3の行列を使って変換する
アフィン (affine) とは?
・ラテン語で「類似・関連」を意味する affinis に由来する言葉
線形変換とは?
・「変換の前に直線だった場所は、変換後も直線のまま保たれる」変換のこと
・直線は変換によって曲がったりしない
・さらに、「直線上に点A,B,Cが並んでいたとき、変換の前後でAB:BCの比が変化しない」
・線の形が変わらないから線形変換という
・線形変換に平行移動を加えたものをアフィン変換と呼ぶ
※ 線形変換は平行移動を表すことができないため
具体的には?
・画像の拡大縮小、回転、平行移動などをまとめて、3×3の行列を使って変換する
アフィン (affine) とは?
・ラテン語で「類似・関連」を意味する affinis に由来する言葉
線形変換とは?
・「変換の前に直線だった場所は、変換後も直線のまま保たれる」変換のこと
・直線は変換によって曲がったりしない
・さらに、「直線上に点A,B,Cが並んでいたとき、変換の前後でAB:BCの比が変化しない」
・線の形が変わらないから線形変換という
幾何学的変換
概要
デジタルオブジェクトは画素の集合だから、画素1つ1つに対して処理を行えば、平行移動、拡大・縮小、回転させることは可能
・画素の位置 … (x, y)
平行移動
計算式
・tx … x方向への移動量
・ty … y方向への移動量
・全画素分下記計算を繰り返せば、オブジェクトの平行移動が可能
x' = x + tx
y' = y + ty
・上記計算式は行列を用いることで1つにまとめることが可能
拡大・縮小
計算式
・sx … x方向への拡大
・sy … y方向への拡大量
・全画素分下記計算を繰り返せば、オブジェクトの拡大・縮小が可能
x' = sx × x
y' = sy × y
・上記計算式は行列を用いることで1つにまとめることが可能
・拡大縮小行列

回転
計算式
・θ … 回転する角度
・sin … 三角関数のサイン
・cos … 三角関数のコサイン
・全画素分下記計算を繰り返せば、オブジェクトの回転が可能
(変換後の x 座標) = (変換前の x 座標)×cosθ - (変換前の y 座標)×sinθ
x' = xcosθ - ysinθ
(変換後の y 座標) = (変換前の x 座標)×sinθ + (変換前の y 座標)×cosθ
y' = xsinθ + ycosθ
・上記計算式は行列を用いることで1つにまとめることが可能・拡大縮小行列

【極座標とは】
・平面上の点を,原点からの距離rと始線(x軸の正の向き)からの偏角θの組(r, θ)で表したもの
・原点からの距離(r)と偏角(θ)からなる座標のこと
・「距離と角度」で表される座標
・平面上の1点を極と定め、その点から半直線を一本引く
・この半直線を始線と定め、平面上の点を(点から極までの距離,点と極を結んだ直線と始線がなす角度ラジアン)という方法で表した(r,θ)
・極は原点、始線はx軸の正の側、角度はy軸の正の向きに向かった動径、とそれぞれ同一視
アフィン変換 計算式
汎用的
・計算式をひとつにして汎用的に使用できるようにする

アフィン行列
・3次元の座標を導入して、1つの行列の乗算にまとめる
・この行列を用いることで、任意の線形変換(拡大・縮小・回転など)と平行移動を組み合わせた変換ができるようになる
・これがアフィン変換

Twitter検索結果。「アフィン変換」に関する最新ツイート
@Tsiolkovsky1961 いちおうアフィン変換と呼び分ける気がしますね 2023/02/04 14:24
重積分をちゃんと理解するにはアフィン変換は避けて通れないのかな 2023/02/04 11:30
この変換はアフィン変換か聞く神回 2023/02/03 08:26
アフィン変換はアフィンさんの名前にちなむものだと思っていました 2023/02/02 18:16
アフィン変換の解法、実はあんまり詰められていない。行列の各要素の値どうするんだろうな~って思ってる。 2023/02/01 22:23
アフィン変換…… 2023/02/01 12:36
今頭の中にストックしてる問題、アフィン変換をしましょうって言われてるような気がしているんだけど、それ水diffなのかなぁ 2023/02/01 12:21
アフィン変換でそー 2023/02/01 07:21
データ全体にアフィン変換をかけて最小二乗法的なことをすれば良い 2023/02/01 03:25
アフィン変換
理解した 2023/02/01 02:16
お寿司で学ぶアフィン変換
第一回:回転 2023/01/31 18:27
アフィン変換を理解した 2023/01/31 11:28
アフィン変換ってなんだよ!!! https://t.co/wcuxDXnxsq 2023/01/30 21:46
