アフィン変換

アフィン変換とは？

　状態:- 　閲覧数:1,618 　投稿日:2014-05-14 　更新日:2016-09-12 　

「線型変換（回転、拡大縮小、剪断）」と「平行移動」を組み合わせた変換
・線形変換に平行移動を加えたものをアフィン変換と呼ぶ
※ 線形変換は平行移動を表すことができないため

具体的には？
・画像の拡大縮小、回転、平行移動などをまとめて、３×３の行列を使って変換する

アフィン (affine) とは？
・ラテン語で「類似・関連」を意味する affinis に由来する言葉

線形変換とは？
・「変換の前に直線だった場所は、変換後も直線のまま保たれる」変換のこと
・直線は変換によって曲がったりしない
・さらに、「直線上に点A,B,Cが並んでいたとき、変換の前後でAB:BCの比が変化しない」
・線の形が変わらないから線形変換という

幾何学的変換

　閲覧数:413　投稿日:2014-05-15　更新日:2014-05-29　

概要

デジタルオブジェクトは画素の集合だから、画素1つ1つに対して処理を行えば、平行移動、拡大・縮小、回転させることは可能
・画素の位置 … (x, y)

平行移動

計算式
・tx … x方向への移動量
・ty … y方向への移動量
・全画素分下記計算を繰り返せば、オブジェクトの平行移動が可能

x' = x + tx

y' = y + ty

・上記計算式は行列を用いることで1つにまとめることが可能

拡大・縮小

計算式
・sx … x方向への拡大
・sy … y方向への拡大量
・全画素分下記計算を繰り返せば、オブジェクトの拡大・縮小が可能

x' = sx × x

y' = sy × y

・上記計算式は行列を用いることで1つにまとめることが可能
・拡大縮小行列

回転

計算式
・θ … 回転する角度
・sin … 三角関数のサイン
・cos … 三角関数のコサイン
・全画素分下記計算を繰り返せば、オブジェクトの回転が可能

(変換後の x 座標) = (変換前の x 座標)×cosθ - (変換前の y 座標)×sinθ

x' = xcosθ - ysinθ

(変換後の y 座標) = (変換前の x 座標)×sinθ + (変換前の y 座標)×cosθ

y' = xsinθ + ycosθ

・上記計算式は行列を用いることで1つにまとめることが可能
・拡大縮小行列

【極座標とは】
・平面上の点を，原点からの距離rと始線（x軸の正の向き）からの偏角θの組(r, θ)で表したもの
・原点からの距離（r）と偏角（θ）からなる座標のこと
・「距離と角度」で表される座標

・平面上の１点を極と定め、その点から半直線を一本引く
・この半直線を始線と定め、平面上の点を(点から極までの距離,点と極を結んだ直線と始線がなす角度ラジアン)という方法で表した(r,θ)

・極は原点、始線はｘ軸の正の側、角度はｙ軸の正の向きに向かった動径、とそれぞれ同一視